第一百一十五章 最后一战（一）(1/2)

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美国东部时间7月12日上午8点，imo第二天的考试正式开始。

坐在考场里，张伟还在想着程青锋他们——也不知道那几个家伙，会不会受昨天记者们的影响。

不过话说回来，这都已经进了考场了，担心再多好像也没啥鸟用，他现在唯一能管得了的，就只有他自己了。

收拾好心情，张伟开始专心对付起手上的试卷。

把三道题都审了一遍，整体难度比昨天的卷子大了不少——特别是最后那到压轴题，难得不止一点点啊！

最难的当然是放在最后，先做前面的：

第一题平面几何；

第二题代数。

虽然费了些手脚，但总的来说还算顺利，做完两题总共花了不到两个小时。

接下来就是最后一道压轴题，时间还有两个半小时，题目如下：

设n是一个正整数，考虑s={lx,y,z∈{0,1,2,,n},xyz0}是三维空间中3-1个点的集合。问：最少要多少个平面，它们的并集才能包含s，但不含（0，0，0）？

这应该是道糅杂了空间几何与代数的题，在imo的压轴题中，这种多知识交叉的题型出现的频率还是挺高的。

题目没有给出已知图形，需要考生自己在脑海中建立几何模型，这无疑增加了题目的难度。

张伟首先在脑海中将空间模型勾勒了一下，然后又在草稿纸上开始比划，可比划来比划去，对解题还是没有什么思路。

想把几何的部分暂时放一边吧，但由于卷子上没有给出图形，这要放下了，等会儿要捡起来就得再在脑海中构建一边——这无疑是件相当浪费时间和精力的事儿。

于是，只得硬着头皮继续研究几何模型，然后将近二十分钟就这样过去了

“没有头绪啊”晃了晃被模型搅得发胀的脑袋，张伟终于放弃了从几何部分做突破的尝试，他知道不能再继续钻几何的牛角尖了。

考奥数，最怕一条路走到黑，不撞南墙不回头的精神，在考场上可要不得。

张伟又把题目细细审了一遍，这次很快就有了发现：

显然可以构造3n个平面，满足其并集包含s但不包含（0，0，0），例如：平面x=i,y=i和z=i；再如平面集xyz=k

但“3n”这个答案是不是满足要求的最小值呢？张伟觉得应该是，但是光觉得还不行，他得证明的确是。

那么接下来的思路，就是要证明最少要“3n”个平面，它们的并集才能包含s，但不含（0，0，0）。

假设结论存在反推过程，最容易想到的是使用归纳法，而张伟也是这么操作的。

引理考虑k个变量的非零多项式，对k用归纳法证明引理，似乎行得通！当k=0时，由p≠0知结论成立假设结论对k-1成立，再证明结论对k成立

为了证明一个假设，后面需要证明更多个假设——这就像是对女朋友撒了一个谎，后面就需要用更多的谎言来圆这个慌！

无限循环简直看不到头啊！

一顿猛如虎的操作证明之后，还要证明degr≥nk！

但是特么到底要怎么证明degr≥nk啊！

思路被卡在这里，张伟有些躁了，再看看时间——11：30！最后这道题，已经花了一个半小时了，而剩余的时间，也只有一个小时了！

“意识分裂！”豪不犹豫的动用了大杀器，虽然还没想好该怎么分配两个意识，但再不用就没机会了！

这也是张伟大意了，实在是昨天的考试过于简单，三道题做下来才花了两个多小时，完全没给“意识分裂”登场的机会！

原以为imo的难度不过尔尔，没想到今天这道压轴题直接就难出天际了——不带这样玩的！

“不能急！”时间已经比较赶了，但张伟并没有拿起笔就干，越是这种时候越是要冷静！“归纳法现在还不能证明一定能走的通，也许该考虑考虑别的思路了”

心里有了计较。

孤注一掷，赢了固然痛快，但要是输了呢？

张伟不敢冒这个险，所以他决定用一个意识继续使用归纳法证明——以此为主；一个意识尝试新的思路，作为可能的备选。

两个意识疯狂的运转：

证明degr≥nk，将多项式r写成y的降幂形式如何？r（x1，x2，，x1，1，y）=（x1，x2，，xk-1）yn-1（x1，x2，，xk-1）yn-1r0（x1，x2，，xk-1）

除了容易想到的归纳法，有没有别的办法证明最少要“3n”个平面呢？比大小的话，差分法是个不错的选择，在这一题行不行得通呢？

归纳法的证明过程，越到后面算的越是艰难，反而以差分法的思路来往下推理，过程似乎并没有很复杂！

“要转变思路吗？”张伟在犹豫，“只有不到半个小时，现在再改用差分法求证，时间肯定来不及了，而且还不知道是不是行得通！”

时间在犹豫中，一分一秒的流逝，而归纳法的证明过程，也越来越陷入停滞。

“不能再等了，归纳法已经走不通了！”张伟还是决定改用差分法思路了，但他做出这个决定的时候其实并不坚决——因为时间真的不多了！

“来得及吗？”脑子里刚刚冒出这个想法，下一秒就被张伟压了下去——因为已经容不得他再犹豫了！

差分法：记多项式p次数为n，定义差分算子△满足△p=p-p,记i为恒等双子。

根据拉格朗日中值定理可知：△p=p-p=p’